ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 24
Гостей: 24
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Классическая формула вычисления вероятности

ТЕМА 1. Классическая формула вычисления               вероятности.

 

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.     при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.     всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Если элементарные исходы СЭ обладают свойством равновозможности (в силу определенной “симметрии” условий), то вероятность Р(А) любого события А определяется формулой:

Р(А) = n(A) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

 n(A) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще,  благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

 

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение :

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная !) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n(A)== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n(B)=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n(C) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120;  Р(В) = 11/120;  Р(С) = 21/120.

 

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение :

Для вычисления n(D) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n(D) =

P(D) = 28/120.

Для вычисления n(Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.   один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.   два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n(E)=

Р(Е) = 36/120.

 

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N);

D – все ячейки заняты (M=N+1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение :

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N*N*N*…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = NM.

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n(A) = 1*1*…*1= 1М = 1, и Р(А) = 1/ NM.

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N-ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n(B)=1+1+…+1(N-раз)=N и Р(В)=N/NM.

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

 n (C) = N*(N-1)*…*(N+M-1) и Р(С) =

В частном случае при M=N :  Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N-1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n(D) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует  способов. После этого оставшиеся (N-1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N-1) ячеек, для этого имеется (N-1)! способов.

Итак, n(D) = 

 .

 

Число n(E) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно  способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N-1) ячейке (N-1)М-К способами. Поэтому :

 

 



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 22130 | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz