ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 24
Гостей: 24
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

2-мерная дискретная случайная величина

ТЕМА 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

 

Основные определения и формулы:

Если результат СЭ описывается двумя случайными величинами X и Y, то принято говорить о 2-мерной СВ или о системе СВ (Х0Y). Ее интерпретируют как случайную точку с координатами (X; Y) по плоскости хОу или как случайный радиус-вектор такой точки.

Совместной функцией распределения системы (Х, Y) называют функцию F(x; y) двух переменных, определяемую равенством:

F(x; y) = P{(X < x)*(Y < y)}.

Геометрически F(x; y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (х; у) в бесконечный квадрат с вершиной (х; у), лежащий левее и ниже ее.

Пусть ДСВ Х и Y принимают значения х1, х2, … и у1, у2, … соответственно. Тогда совместный закон распределения можно задавать матрицей (Рij), элементы которой рij=P{(X = xi)(Y = yj)}, удовлетворяют очевидному условию:.

Суммируя вероятности рij по строкам, получим ряд распределения СВ Х, а суммируя их по столбцам – СВ Y.

Пусть т1 и т2 – математические ожидания, s1 и s2 – средние квадратичные отклонения случайных величин Х и Y соответственно. Коэффициентом корреляции системы (X; Y)называют число:

Свойства коэффициента корреляции:

1.     –1 £ r £ 1;

2.     если X и Y – независимы, то r = 0;

3.     если Y = aX + b, где a и b -  неслучайны, то r = ±1 (знак “+” соответствует а > 0, знак “–” соответствует а < 0).

 

Решение типовых примеров :

Пример 1. Из колоды карт наудачу извлекают по одной с возвращением 2 карты. Х – число карт черного цвета, Y – число карт пиковой масти среди извлеченных. Найти совместный закон распределения (X, Y) и коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения величин X и Y – это 0, 1, 2. Обозначим          рij = P{(X=i)(Y=j)}, i, j =0, 1, 2. Так как карта пиковой масти черная, то р01 = р02 = р12 = 0. Найдем остальные вероятности, используя теоремы сложения и умножения.

р00 = Р(X=0, Y=0) = P(обе карты красные) = ½ * ½.

р10 = Р(X=1, Y=0) = P(только одна черная, но не пика) = P(одна трефа и одна красная) = ¼ *½ + ½ *¼.

р11 = Р(X=1, Y=1) = P(одна пика и одна красная) = 2*¼* ½.

р20 = P(обе черные, но не пики) = ¼*¼.

р21 = P(одна пика и одна трефа) = 2*¼*¼.

р22 = P(обе пики) = ¼*¼.

Итак, совместный закон распределения имеет вид:

Х

Y

0

1

2

0

0.25

0

0

1

0.25

0.25

0

2

0.0625

0.125

0.0625

Суммируя вероятности по строкам и столбцам, находим законы распределения Х и Y:

Х

0

1

2

 

Y

0

1

2

р

0,25

0,5

0,25

p

0,5625

0,375

0,0625

Анализируя условия СЭ, приходим к выводу, что СВ Х и Y имеют биномиальные распределения с параметрами: п = 2, р1 = 0,5 (для Х) и р2 = 0,25 (для Y). Поэтому их основные числовые характеристики можно найти, не прибегая к выписанным выше законам распределения:

m1 = M(X) = np1 = 1  ; m2 = M(Y) = np2 = 0,5  ;

Далее находим М(X·Y):

M(X,Y) = = 0*0*0,25 + 0*1*0 + 0*2*0 + 1*0*0,25 + 1*1*0,25 + + 1*2*0 + 2*0*0,0625 + 2*1*0,125 + 2*2*0,0625 = 0,75.

Теперь можно найти коэффициент корреляции:

 

Пример 2. Производятся три независимых выстрела по мишени, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Х – число попаданий, Y – число промахов. Найти закон распределения системы (X, Y) и вычислить коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения случайных величин Х и Y – это 0, 1, 2, 3. Очевидно, что pij = P{(X=i)(Y=j)} = 0, если i + j ¹ 3, i,j = 0, 1, 2, 3. Остальные вероятности находим по формуле Бернулли (n = 3, p = P(попадания)):

р03 = Р(Х=0; Y=3) = Р3(0)=(1–р)3;

р12 = Р3(1) =

р21 = Р3(2) =

р30 = Р3(3) = р3.

Чтобы найти коэффициент корреляции, обратим внимание на то, что Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью Y =3 – X. Поэтому r = -1.



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 1495 | Рейтинг: 5.0 /1
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz