ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 21
Гостей: 21
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

2- мерная непрерывная случайная величина

ТЕМА 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.

 

Основные определения и формулы:

Совместная функция распределения F(x, y)  =P{(X < x)(Y < y)}     2-мерной СВ (X, Y), обладает следующими свойствами:

1.     F(-¥, -¥) = F(-¥, y)=F(x, -¥)=0; F(+¥, +¥)=1;

2.     F(x, +¥) = F1(x) – функция распределения СВ Х;

3.     F(+¥, y) = F2(y) – функция распределения СВ Y.

4.     F(x, y) – неубывающая функция по каждому из аргументов.

В случае, если Х и Y непрерывные СВ, совместный закон распределения можно задавать совместной плотностью f(x,y) системы (Х, Y):

Плотность обладает следующими свойствами:

5) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой:

Отношения f(x,y)/f2(y) = f1(x/y) и f(x,y)/f1(x) = f2(y/x) называются условными плотностями случайных величин Х и Y соответственно.

Две СВ Х и Y называются независимыми если f1(x/y) = f1(x) или f2(y/х) = f2(y).

Если Х и Y независимы, то совместная плотность системы (X, Y) равна произведению плотностей Х и Y:

f(x,y) = f1(x)* f2(y).

Корреляционным моментом двух СВ Х и Y называют величину:

K=M(XY) – M(X)M(Y).

Если Х и Y – непрерывны и f(x,y) – их совместная плотность, то:

Коэффициентом корреляции двух СВ Х и Y называют безразмерную величину r:

 

Решение типовых примеров :

Пример 1. Система СВ (X,Y) задана совместной плотностью:

Найти: а) параметр А; б) совместную функцию распределения F(x,y); в)одномерные функции f1(x), f2(y), F1(x), F2(y); г) условные плотности f1(x/у) и f2(у/x);             д) корреляционный момент.

Решение :

а) параметр А находим, используя свойство 2):

б) функция распределения F(x,y) отлична от 0 только в первом квадрате, причем (свойство 3)):

 

в) используя свойство 4), находим плотности СВ Х и Y:

(здесь использовалось известное соотношение х = о(ех) при хà+¥).

Для отрицательных значений аргументов плотности f1(x), f2(y) равны 0, т.к. равна 0 совместная плотность.

Функции распределения F1(x) , F2(y) находим, используя свойство одномерных плотностей:

г) условные плотности:

Эта плотность определена лишь для y > 0, при которых f2(y) ¹ 0.

Эта плотность определена лишь для x > 0.

 

д) найдем сначала числовые характеристики СВ Х и Y. Вид плотности f1(x) означает, что Х имеет показательное распределение с параметром l = 3. Поэтому:

M(X) = 1/3  ;  D(X) = 1/9.

Вид плотности f2(у) говорит о том, что M(Y) = +¥, т.к. интеграл

расходится (подынтегральная функция на +¥ эквивалентна функции 3/у, интеграл от которой расходится).

Таким образом, корреляционный момент не существует.



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 1679 | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz