Центральная предельная теорема

ТЕМА 15. Центральная предельная теорема.

Основные определения и формулы:

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … – независимы и одинаково распределены, причем M(X_k) = m, D(X_k) = s². Тогда имеет место центральная предельная теорема (Ц. П. Т.) т.е.

При решении задач используют другую формулировку Ц.П.Т.

Если Х₁, Х₂, … Х_n – независимые, одинаково распределенные СВ, причем M(X_k) = m, D(X_k) = s², то их сумма Y = SX_k при достаточно большом n имеем приближенно нормальное распределение с параметрами mn и sÖn. Другими словами:

где F(х) – функция Лапласа.

Замечание: Интегральная теорема Лапласа есть частный случай Ц.П.Т.

Решение типовых примеров:

Пример 1. Страховая компания застраховала n человек одного возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти (в течении ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соответственно. Стоимость страховки L$, в случае травмы клиенту выплачивается a$, в случае смерти – A$. Найти вероятность того, что компания получит прибыль не менее Q$.

Решение :

Рассмотрим СВ Х_к – выплаты к-му клиенту, к=1.. n. ее ряд распределения:

Найдем ее числовые характеристики:

m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;

s² = D(X) = 0,0001а² + 0,00001А² – m².

Т.к. клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, независимо один от другого, то случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n – независимые и к ним применима Ц.П.Т.

Суммарные выплаты компании клиентам Y = SX_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами mn и sÖn.

Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют Ln$.

Разность Ln – Y – это прибыль компании. Найдем (приближенно) вероятность того, что прибыль будет не менее Q$:

Пример 2. Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 3$, 4-х – 50$ и 5-ти – 500$. Найти границы практически возможных выплат по лотереи, если в ней участвуют п = 10.000 человек.

Решение :

Обозначим через Х_к – выплаты к-му участнику. Возможные значения этой ДСВ: 0, 3, 50 ,500. Соответствующие им вероятности можно найти, используя классическое определение вероятности, например:

Ряд распределения и числовые характеристики ДСВ Х_к:

В силу Ц.П.Т. суммарные выплаты по лотерее Y = SX_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами:

mn = 590$,

sÖn = 434,4$.

Применяя к СВ Y “правило 3-х сигма”, получим границы практически возможных выплат:

верхняя граница = 590 + 3*434,4 = 1893$

нижняя граница = 0.

Пример 3. В условии предыдущего примера определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета 0,3$.

Решение :

Искомое число можно найти из неравенства:

,

где m и s найдены ранее. Имеем

Итак, уже 293 участника обеспечат организаторам отсутствие убытков.