ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 23
Гостей: 23
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Дискретная случайная величина

ТЕМА 7. Дискретная случайная величина.

 

Основные определения и формулы :

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате СЭ может принять то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

Если множество возможных значений СВ представляет собой последовательность чисел (конечную или бесконечную), то такая СВ называется дискретной (ДСВ).

Случайная величина полностью описывается (с вероятностной точки зрения) заданием своего закона распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями принять эти значения.

Для ДСВ закон распределения можно задавать в различных формах: табличной, графической, аналитической.

Рядом распределения ДСВ называется таблица вида:

Х

х1

х2

хк

Р

р1

р2

рк

где хк – все возможные значения ДСВ Х,

рк – соответствующие вероятности, т.е. рк = Р(Х=хк), к = 1,2,…, причем S рк = 1.

Многоугольником распределения ДСВ Х называется ломаная линия, звенья которой последовательно соединяют точки (хк, рк), нанесенные на координатную плоскость хОр.

Функцией распределения произвольной СВ Х называется функция F(x) действительного переменного х, определяемая равенством:

F(x) = P(X < x).

Для ДСВ функция распределения всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой расположены в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений. Формально:

К числовым характеристикам ДСВ Х относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратичное отклонение      s (Х), коэффициент вариации V(Х), асимметрия А(Х), эксцесс Е(Х), мода М (формулу для вычисления см. в примере 1).

 

Решение типовых примеров :

Пример 1. Из ящика, содержащего 8 деталей, среди которых 2 нестандартные, наудачу извлечены 4 детали. Для СВ Х – число нестандартных деталей среди извлеченных – построить ряд распределения, записать функцию распределения, найти числовые характеристики.

Решение :

Нестандартных деталей среди извлеченных по условию задачи может быть 0, 1 и 2. Пользуясь классическим определением, находим вероятности возможных значений:

Проверка: р0+ р1+ р2 = 1.

Ряд распределения имеет вид:

Х

0

1

2

Р

0,21

0,58

0,21

Функция распределения:

Находим числовые характеристики:

 

Пример 2. Производится стрельба до 1-го попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же и равна 0,8, а выстрелы независимы. Для ДСВ Х – число сделанных выстрелов– найти закон распределения. Рассмотреть два случая: а) боекомплект не ограничен;   б) боекомплект состоит из 3 зарядов.

Решение :

Обозначим через Ак событие – попадание в к-ом выстреле, к = 1,2,.. По условию: Р(Ак) = 0,8,

а) в случае неограниченного боекомплекта ДСВ Х может принять любое натуральное значение п, причем:

Это пример аналитической формы закона распределения:        P(X=xn) = G(xn), где G(xn) – некоторая функция.

б) в случае ограниченного боекомплекта вероятности р1 и р2 совпадают с соответствующими для случая а): р1 = 0,8, р2 = 0,2*0,8.

Для р3 имеем:

р3 = Р(Х=3) = Р(боекомплект исчерпан) =

Ряд распределения имеет вид:

Х

1

2

3

Р

0,8

0,16

0,04

 

Пример 3. Число проведенных опытов есть ДСВ Z имеющая распределение Пуассона с параметром l. Каждый опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью q = 1 – p. Найти закон распределения для ДСВ Х – число успешных опытов.

Решение :

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, … , к, … . Событие {X=k} может осуществиться только с одним их событий Hn = {Z=n}, n ³ k. Значит можно использовать формулу полной вероятности:

Условие на Z означает следующее:

Условную же вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Итак, закон распределения СВ Х:

Преобразуем полученный ряд:

Или, окончательно:

т.е. СВ Х имеет распределение Пуассона с параметром lр.

 

Пример 4. Пусть Х – число появлений события А в серии из п независимых испытаний, причем, вероятность появления А в к-ом испытании равна рк. найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х.

Решение :

Рассмотрим вспомогательные СВ Хк – число появлений А в к-ом испытании, к = 1 .. п (это так называемые индикаторы события А). Каждая такая СВ принимает значение 1 с вероятностью рк и значение 0 с вероятностью 1 - рк = qk. Ее числовые характеристики:

М(Хк) = 0*qk + 1*pk = pk;

D(Xk) = (0 – p,k)2qk + (1 – pk)2pk = pkqk, kl = 1 .. n ;

Отметим, что в силу независимости испытаний, эти величины –независимы.

Число Х – появлений события А в к испытаниях есть не что иное, как сумма чисел появлений в каждом испытании, т.е.

Х = Х1 + Х2 + … + Хп.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 5392 | Теги: Дискретная, Случайная, величина | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz