ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 23
Гостей: 23
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Формулы полной вероятности и Байеса

ТЕМА 4. Формулы полной вероятности и                Байеса.

 

Основные определения и формулы :

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, … , Нn (это имеет место, например, для полной группы событий Нк, к = 1.. n). Тогда:

Р(А) = Р(А/Нк).     (формула полной вероятности).

Если при этом Р(А) ¹ 0, то

Р(Нm/А) =  ,  m = 1 .. n . (формула Байеса).

Выбор подходящих гипотез Н1, Н2, … , Нn зависит от того, можем ли мы достаточно просто вычислить условные вероятности Р(А/Нк).

 

Решение типовых примеров:

 

Пример 1. Из урны, содержащей 10 черных и 5 белых шаров, извлекают один и, выяснив его цвет, добавляют в урну к шаров противоположного цвета. Чему равно к, если вероятность извлечь после этого белый шар равна 0,5?

Решение :

Обозначим через А событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из урны после изменения её состава, имеет белый цвет. Это событие тесно связано с двумя гипотезами относительно цвета первого извлеченного шара:

Н1 – шар, первоначально извлеченный из урны – черный;

Н2 – шар, первоначально извлеченный из урны – белый;

Вероятности этих гипотез: Р(Н1) = 10/15  ;   Р(Н2) = 5/15.

Осуществление гипотезы Н1, означает, что второй шар извлекают из урны, содержащей 9 (=10–1) черных и 5+к белых шаров, а появление события Н2 приведет к такому составу: 4 (=5–1) белых шара и 10+к черных. Поэтому, условные вероятности:

Р(А/Н1) = (5+к) / (14+к)   ;   Р(А/Н2) = 5 / (14+к).

Формула полной вероятности:

Р(А) = .

По условию эта вероятность равна 0,5.

Отсюда находим к:

к = 14.

 

Пример 2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Вероятность поражения цели при к попаданиях равна  1 – 0,3к. Найти вероятность поражения цели, если сделано 2 выстрела.

Решение :

Интересующее нас событие А – цель поражена – может произойти только совместно с одним из событий:

Н1 – одно попадание в 2х выстрелах;

Н2 – два попадания.

Если Вк – попадание в к-ом выстреле, то

Р(Н2) = Р(В1В2) = 0,8*0,8 = 0,64.

Найдем условные вероятности:

Р(А/Н1) = 1 – 0,31 = 0,7 ; Р(А/Н2) = 1 – 0,32 = 0,91.

Полная вероятность события равна:

Р(А) = 0,32*0,7 + 0,64*0,91 = 0,8064.

 

Пример 3. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение :

Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие  А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Нк – взятая наудачу деталь обработана на к-ом станке, к = 1..3.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Р(А/Н1) = 0,02 ;  Р(А/Н2) = 0,07 ;  Р(А/Н3) = 0,1.

Зависимости между производительностями станков означают следующее: Р(Н1) = 3Р(Н2), Р(Н3) = 0,5Р(Н2). А т.к. гипотезы образуют полную группу, то Р(Н1) + Р(Н2) + Р(Н3) = 1.

Решив полученную систему уравнений, найдем:

Р(Н1) = 6/9   ;   Р(Н2) = 2/9   ;   Р(Н3) = 1/9.

а)  Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера    деталь – бракованная:

Р(А) = 6/9 * 0,02 + 2/9 * 0,07 + 1/9 * 0,1 = 0,04.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б)  Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Р(Н1/А) = [6/9 * 0,02] / 0,04 = 0,33 ;

Р(Н2/А) = [2/9 * 0,07] / 0,04 = 0,39;

Р(Н3/А) = 1 – Р(Н1/А) – Р(Н2/А) = 0,28.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

 



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 3163 | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz