Формулы полной вероятности и Байеса

ТЕМА 4. Формулы полной вероятности и                Байеса.

Основные определения и формулы :

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, … , Н_n (это имеет место, например, для полной группы событий Н_к, к = 1.. n). Тогда:

Р(А) = Р(А/Н_к).     (формула полной вероятности).

Если при этом Р(А) ¹ 0, то

Р(Н_m/А) =  ,  m = 1 .. n . (формула Байеса).

Выбор подходящих гипотез Н₁, Н₂, … , Н_n зависит от того, можем ли мы достаточно просто вычислить условные вероятности Р(А/Н_к).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Из урны, содержащей 10 черных и 5 белых шаров, извлекают один и, выяснив его цвет, добавляют в урну к шаров противоположного цвета. Чему равно к, если вероятность извлечь после этого белый шар равна 0,5?

Решение :

Обозначим через А событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из урны после изменения её состава, имеет белый цвет. Это событие тесно связано с двумя гипотезами относительно цвета первого извлеченного шара:

Н₁ – шар, первоначально извлеченный из урны – черный;

Н₂ – шар, первоначально извлеченный из урны – белый;

Вероятности этих гипотез: Р(Н₁) = 10/15  ;   Р(Н₂) = 5/15.

Осуществление гипотезы Н₁, означает, что второй шар извлекают из урны, содержащей 9 (=10–1) черных и 5+к белых шаров, а появление события Н₂ приведет к такому составу: 4 (=5–1) белых шара и 10+к черных. Поэтому, условные вероятности:

Р(А/Н₁) = (5+к) / (14+к)   ;   Р(А/Н₂) = 5 / (14+к).

Формула полной вероятности:

Р(А) = .

По условию эта вероятность равна 0,5.

Отсюда находим к:

к = 14.

Пример 2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Вероятность поражения цели при к попаданиях равна  1 – 0,3^к. Найти вероятность поражения цели, если сделано 2 выстрела.

Решение :

Интересующее нас событие А – цель поражена – может произойти только совместно с одним из событий:

Н₁ – одно попадание в 2^х выстрелах;

Н₂ – два попадания.

Если В_к – попадание в к-ом выстреле, то

Р(Н₂) = Р(В₁В₂) = 0,8*0,8 = 0,64.

Найдем условные вероятности:

Р(А/Н₁) = 1 – 0,3¹ = 0,7 ; Р(А/Н₂) = 1 – 0,3² = 0,91.

Полная вероятность события равна:

Р(А) = 0,32*0,7 + 0,64*0,91 = 0,8064.

Пример 3. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение :

Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие  А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Н_к – взятая наудачу деталь обработана на к-ом станке, к = 1..3.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Р(А/Н₁) = 0,02 ;  Р(А/Н₂) = 0,07 ;  Р(А/Н₃) = 0,1.

Зависимости между производительностями станков означают следующее: Р(Н₁) = 3Р(Н₂), Р(Н₃) = 0,5Р(Н₂). А т.к. гипотезы образуют полную группу, то Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) = 1.

Решив полученную систему уравнений, найдем:

Р(Н₁) = 6/9   ;   Р(Н₂) = 2/9   ;   Р(Н₃) = 1/9.

а)  Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера    деталь – бракованная:

Р(А) = 6/9 * 0,02 + 2/9 * 0,07 + 1/9 * 0,1 = 0,04.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б)  Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Р(Н₁/А) = [6/9 * 0,02] / 0,04 = 0,33 ;

Р(Н₂/А) = [2/9 * 0,07] / 0,04 = 0,39;

Р(Н₃/А) = 1 – Р(Н₁/А) – Р(Н₂/А) = 0,28.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.