Функция от двух случайных величин

ТЕМА 13. Функция от двух случайных величин.

 

Основные определения и формулы:

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Z есть функция от двух случайных аргументов Х и Y: Z = j (X, Y), то ее функция распределения имеет вид:

где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X, Y), а двойной интеграл берется по области D(Z) плоскости хОу, для которой j(x,y) < z.

 

Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти функцию распределения СВ Z = Y – X, где X и Y – независимые СВ, причем Х равномерно распределена в интервале (-1; 1), Y – имеет показательное распределение с параметром а = 1.

Решение :

Выпишем плотности СВ Х и Y:

Так как Х и Y – независимы, то совместная плотность системы (X, Y) есть произведение их плотностей:

f(x,y) = 0,5e^-y в полуполосе K = {(x,y): -1 < x< 1, 0 < y < +¥} и f(x,y) = 0 вне К.

Множество возможных значений СВ Z – это интервал (-1; +¥). Поэтому F(Z) = P(Z < z) = 0 при z £ -1. Для вычисления F(z) при других значениях z рассмотрим множество D_z, по которому интегрируется совместная плотность. Это часть полуполосы К, удовлетворяющая условию y – x < z, т.е. часть К, лежащая ниже прямой y = x + z. Форма D_z и пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от значения z:

1) При z > 1   D_z  = {(x, y): -1 £ x £ 1, 0 £ y £ x + z }

2) При –1 < z £ 1  D_z = {(x, y): -z £ x £ 1, 0 £ y £ x + z }

 

Пример 2. В прямоугольник К с вершинами (0;0), (а;0), (0;b), (a;b) наудачу ставят точку (X;Y) и опускают из нее перпендикуляры на оси координат. Найти закон распределения площади Т многоугольника, образованного этими перпендикулярами и осями координат.

Решение :

Тот факт, что точка ставится в прямоугольник К наудачу, означает, что система СВ (X;Y) имеет равномерное распределение в К, т.е. ее совместная плотность f(x,y) = C в прямоугольнике К и f(x,y) = 0 вне К, причем С = 1/(a*b). Функциональная зависимость СВ: T = X*Y, т.е. j(x,y) = х*у. Область интегрирования в формуле для функции распределения:

D_t = {(x,y): xy < t}={(x,y): y<t/x}.

Учитывая вид плотности f(x,y), получим:

Здесь G_t – это часть прямоугольника К, лежащая ниже гиперболы        y = t/x, а интеграл по области G_t – это не что иное, как ее площадь:

Итак, окончательно функция распределения площади имеет вид:

(это следует из общих свойств функции распределения). Дифференцируя эту функцию, находим плотность:

 

Беру это сочинение!

Похожие сочинения