Функция от случайной величины

ТЕМА 12. Функция от случайной величины.

Основные определения и формулы:

Пусть НСВ Х и Y связаны функциональной зависимостью              Y = j(х), где j(х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, если f (x) – плотность СВ Х, а g(y) – плотность СВ Y, то

g(y) = f(y(y))| y’(y)|,

где y(y) – функция, обратная по отношению к j(х).

Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция y(y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х: y₁(y), y₂(y),…, y_n(y), то плотность СВ Y определяется формулой:

Решение типовых примеров:

Пример 1. СВ Х имеет показательное распределение с параметром а. Найти плотность СВ Y = АХ + В.

Решение :

Рассмотрим функцию j(х) = Ах + В. Это монотонная функция (если А ¹ 0). Чтобы найти обратную функцию y(у), достаточно решить уравнение у = Ах + В относительно х: х = (у – В)/А. Итак,   y(у) = (у – В)/А, а y’(у) = 1/А. Плотность СВ Х:

Находим плотность СВ Y:

g(y) = ae^-a(y-B)/A*|A^-1|. при (у–В)/А > 0,

т.е. при y > B. Для остальных у плотность g(y) = 0.

Пример 2. Через точку А(0, l) проведена наудачу прямая. Найти плотность абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.

Решение :

Пусть НСВ Y – угол, который прямая, проведенная через точку А, составляет с положительным направлением оси Оу. Проведение этой прямой наугад означает, что СВ Y имеет равномерное распределение в интервале (-p /2; p/2), т.е. ее плотность имеет вид

Если В(Х, 0) – точка пересечения прямой с осью Ох, то Х = l*tgY. Обратной к функции j(y) = l*tg y на интервале (-p /2; p/2) является функция y = arctg (x/l). Находим плотность Х:

Это так называемое распределение Коши.

Пример 3. НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами    m = 0, s = 1. Найти плотность СВ Y = X².

Решение :Функция у = х² – немонотонная на (-¥; +¥) и поэтому ее обратная функция y(у) – неоднозначная: y₁(у) = Öу и y₂(у)= -Öу.     Находим плотность СВ Y:

Здесь  - плотность СВ Х.

После преобразований получим:

Для отрицательных у плотность равна 0.