ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 27
Гостей: 27
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Непрерывная случайная величина

ТЕМА 8. Непрерывная случайная величина.

 

Основные определения и формулы :

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) непрерывна при любом х и имеет производную F’(x) везде, кроме, может быть, конечного числа точек.

Плотностью распределения НСВ Х называется производная ее функции распределения:   f (x) = F’(x).

Свойства плотности НСВ Х:

1.     f (x) ³ 0;

2.    

3.    

4.     P(x < X < x+Dx) » f (x)Dx ;

5.     Если P(a < X < b) = 1, то f (x) = 0 вне [a; b].

Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:

М(Х) =

причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.

Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:

Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).

 

Решение типовых примеров :

Пример 1. НСВ Х задана плотностью распределения:

f (x) =

Найти: а) параметр к; б) функцию распределения;        в) числовые характеристики; г) вероятность                     Р(|Х – М(х)| < s (х)); д) вероятность того, что в 10 независимых наблюдениях СВ Х ровно 7 раз примет положительные значения.

Решение :

а) Неизвестный параметр плотности обычно находят, используя одно из ее свойств:

 

 

б) Связь между плотностью и функцией распределения устанавливается с использованием еще одного свойства плотности:

 

 

Для нашей задачи имеем:

 

 

 

Итак, получили:

 

 

 

Значения 0 и 1 для F(x) вытекают из общих ее свойств:

 

Если СВ Х принимает значения только на промежутке       [а; b] ,то левее а F(x) = 0 и правее b F(x) = 1.

 

в) находим числовые характеристики:

7) Мода для НСВ – это точка максимума плотности распределения. В нашей задаче такой точки нет, а есть, напротив, точка минимума: х = 0. Такое распределение называют антимодальным.

8) Медиана m формально находится из равенства:

Геометрически медиана – это точка, в которой площадь под плотностью делится пополам. Т.к. наше распределение симметрично относительно х = 0, то медиана m = 0. Кстати, равенство М(х) = 0 также следует из этой симметрии.

д) Каждое из 10 наблюдений СВ Х – это испытание, в котором может появиться событие А = {x > 0}. Вероятность этого события:

Тогда искомая вероятность семи положительных значений в 10 наблюдениях есть:

 

Пример 2. На окружности радиуса R с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Ее абсцисса – некоторая НСВ Х. Найти М(Х2).

Решение :

Точка выбирается на окружности наудачу, т.е. можно считать, что полярный угол U этой точки есть НСВ, равномерно распределенная на промежутке [0, 2p]. Ее плотность распределения:

Точка имеет полярные координаты (R; U), поэтому ее абсцисса      x = R cos(U). Итак, требуется найти М(R2 cos2U). Используем следующее свойство математического ожидания: если НСВ U имеет плотность распределения f (x), а g(x) – некоторая функция, то:

В нашем случае имеем:



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 6737 | Теги: Случайная, Непрерывная, величина | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz