ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 31
Гостей: 31
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Теоремы сложения и умножения

ТЕМА 3. Теоремы сложения и умножения.

 

Основные определения и формулы:

Сумма событий А и В есть событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведение событий А и В есть событие А*В, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В.

События называются несовместными, если их совместное наступление невозможно.

Противоположное событие для события А есть событие А, состоящее в ненаступлении события А. События А и А – несовместны, а их сумма совпадает с ПЭИ.

Некоторые свойства:

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью Р(А/В).

События А и В называются независимыми, если Р(А/В) = Р(А) (или Р(В/А) = Р(В)).

 

Теорема умножения 1.(ТУ1): Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А) = Р(В)*Р(А/В).

 

ТУ 2.: вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.

 

Теорема сложения 1.(ТС1): вероятность  суммы  попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

 


ТС 2.: Р(А) = 1 – Р(А).

 

ТС 3.: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

 

Решение типовых примеров :

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных и 7 белых шаров, наудачу извлекают по одному два шара. Найти вероятности событий :

В – извлеченные шары – белые;

С – только первый извлеченный шар – белый;

D – только один извлеченный шар – белый.

Рассмотреть два случая: а) извлечения без возвращения;                    б) извлечения с возвращением.

Решение :

Обозначим : Акк-й извлеченный шар – белый, к = 1 .. 2. Тогда

а) если 1й шар не возвращают в урну, то вероятности событий, связанных со вторым извлечением зависят от исхода первого, т.е. А1 и А2 – зависимые события и поэтому:

.

Условную вероятность нашли, рассуждая так: после того, как событие А1 произошло, т.е. первый извлеченный шар был белый, второе извлечение осуществляется из урны, содержащей 5 красных и 6 белых (7 – 1 = 6) шаров. Поэтому Р(А2 1) = 6 /11.

Аналогично .

Слагаемые в записи события D являются несовместными, поэтому:

.

б) в случае возвращения извлеченного шара извлечения становятся независимыми испытаниями, а значит и события, связанные с ними – независимые, причем Р(А1) = Р(А2) = 7/12. Поэтому:

Р(В) = (7 / 12)2;  Р(С) =  ;  Р(D) = .

 

Пример 2. Из колоды карт (36 карт, 4 масти) извлекают наудачу сразу 3 карты. Найти вероятности событий :

А – среди извлеченных карт есть 2 бубны или 2 туза;

В – извлечена хотя бы одна дома.

Решение :

Событие А – это сумма событий : А1 – среди извлеченных карт есть 2 бубны, А2 – среди извлеченных карт есть 2 туза. Эти события – совместные и их произведение А12 – среди извлеченных карт есть 2 бубны и 2 туза – может осуществиться только так : среди извлеченных карт есть туз бубновый, еще один туз из трех “не бубновых” и еще одна бубна из восьми “нетузов”. Поэтому n(A1A2) = .

Применяя ТС3 и классическую формулу вычисления вероятности, находим :

Р(А) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1А2) =  =

= .

Чтобы найти Р(В), перейдем к противоположному событию :  – среди извлеченных нет дам, т.е. все “не дамы” :

 

Пример 3. Вероятность попадания в цель в каждом из n независимых выстрелов равна р. выразить через n и р вероятность Р хотя бы одного попадания в n выстрелах.

a)    Найти Р для n = 3, р = 0,7 ;

b)    Пусть р = 0,6. Сколько выстрелов нужно сделать, чтобы с вероятностью не меньшей 0,97 попасть хотя бы один раз?

c)    Пусть n = 5. Какова должна быть вероятность попадания р в каждом выстреле, что бы с вероятностью не меньшей 0,95 попасть хотя бы один раз?

Решение :

Обозначим через Ак – “попадание” и – “промах” при к-ом выстреле. Тогда для события В – хотя бы одно попадание в n выстрелах, можно записать:

Применяя ТС1 и ТУ2, получим:

Р(В) = 1 – Р(В) = 1 – Р(А1)* Р(А2)* … * Р(Аn) = 1 – (1 – Р(А1))n

Итак, Р = 1 – (1 – р)n.

a)       вероятность хотя бы одного попадания в 3х выстрелах (при условии, что при каждом выстреле вероятность попадания равна 0,7):

Р = 1 – (1 – 0,7)3 = 0,973

b)       нахождение требуемого числа выстрелов n сводится к решению неравенства :

0,97 £ 1 – (1 – 0,6)n  или  0,4n £ 0,03.

Отсюда получаем для n :

n ³ lg 0,03 / lg 0,4 = 3,83

Итак, необходимо сделать не менее 4х выстрелов.

c)       искомая вероятность р удовлетворяет неравенству:

1 – (1 – р)5 ³ 0,95    или    (1 – р) £

Отсюда получаем: р ³ 0,451.

 

Пример 4. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью р1, а второй – р2. Найти вероятности событий :

В – попал только первый стрелок;

С – попал только один стрелок;

D – попал хотя бы один стрелок.

если каждый сделал по одному выстрелу.

Решение :

Обозначим через Ai – попадание,– промах i-го стрелка, i = 1 .. 2. “Попал только первый” подразумевает, что второй промахнулся, т.е. “Попадание только одного” есть сумма двух слагаемых : “попал только первый” и “попал только второй”, т.е.  Для события D можно написать различные представления:

D = A1 + A2    (слагаемые совместные);

D = C + A1A2 (слагаемые несовместные);

D = “не попал ни один” =

Теоремы сложения и умножения позволяют найти требуемые вероятности :

Р(В) = р1*(1 – р2);

Р(С) = р1*(1 – р2) + р2*(1 – р1);

 

Пример 5. Независимые события производятся до тех пор, пока не произойдет событие А, причем: вероятность появления А в каждом испытании одна и та же и равна р. найти вероятности событий :

В – опыт закончится на третьем испытании;

С – потребуется нечетное число испытаний;

D – потребуется не менее трех испытаний.

Решение :

Обозначим через Ак – появление и – непоявление события А в к-ом испытании, к = 1, 2, … . По условию Р(Ак) = р, . Окончание опыта на третьем испытании означает, что в первых двух испытаниях событие А не происходило, а в третьем – произошло, т.е. В = А123.

В общем случае, если Bn – опыт закончится на п-ом испытании, - то можно записать:

 В = А12* … *Аn – 1*An   и   C =  .

Для события D можно записать аналогичное равенство:

D = .

Можно также рассмотреть – менее трех испытаний, т.е. “два испытания или одно”: D =  Но лучше рассуждать так: потребуется три и более испытаний только тогда, когда в первых двух событие А не произошло, т.е. D =

Используя теоремы сложения и умножения, получаем:

Р(В) = q2*p   ;   P(D) = q2  ;

P(C) =

 



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 2081 | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz