ВСЕ СОЧИНЕНИЯ

Поиск
Меню сайта
Форма входа



Статистика

Онлайн всего: 26
Гостей: 26
Пользователей: 0


Сочинения » Математика » Теория вероятности Добавить сочинение

Закон больших чисел

ТЕМА 14. Закон больших чисел.

 

Основные определения и формулы:

Если СВ Х неотрицательная и имеет конечное математическое ожидание, то для любого e > 0

(неравенство Чебышева, первая форма).

Если СВ Х имеет конечную дисперсию, то для любого e > 0

(неравенство Чебышева, вторая форма).

Пусть случайные величины Х1, Х2, … Хn, … независимы и имеют конечные дисперсии, причем D(Xn) £ C, n = 1, 2, … . Тогда последовательность СВ Х1, Х2, … Хn, … подчиняется закону больших чисел, т.е. для любого e > 0

(теорема Чебышева)

 

Решение типовых примеров:

Пример 1. Количество осадков, выпадающих в данной местности в течение года, является случайной величиной Х, причем М(Х) = 55 см. а) Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не более 175 см.; б) Оценить ту же вероятность, если известно , что s(х) = 15 см.

Решение :

а) Так как о дисперсии СВ Х мы ничего не знаем, используем первую форму неравенства Чебышева:

Р(Х > 175) < 55/175 = 0,31

Отсюда получаем оценку снизу для искомой вероятности:

Р(Х £ 175) = 1 – Р(Х > 175) > 1 – 0,31 = 0,69.

б) Информация о дисперсии СВ Х позволяет использовать вторую форму неравенства Чебышева и получить более точную оценку:

P(X > 175) = P(X–55 > 175–55) £ P(|XM(X)| > 20) < 152/1202 = 0,02.

Отсюда: Р(Х £ 175) > 0,98.

 

Пример 2. Дана последовательность независимых случайных величин Х1, Х2, … Хn, …, причем СВ Хn имеет равномерное распределение на интервале (). Подчиняется ли эта последовательность закону больших чисел.

Решение :

Воспользуемся известным фактом: если СВ Z имеет равномерное на интервале (a,b) распределение, то

M(Z) = (a+b)/2,      D(Z) = (ba)2/12.

Таким образом M(Xn) = 0, D(Xn) = ln (n)/3.

Теорему Чебышева применять нельзя, т.к. нет ограниченности дисперсии. Но можно применить неравенство Чебышева к СВ Числовые характеристики:

 

Неравенство Чебышева:

Так как ln(n) = o(n), то эта вероятность стремится к 0 при увеличении n. Другими словами

т.е. последовательность Х1, Х2, … Хn, … подчиняется закону больших чисел.

 



Беру это сочинение!

Похожие сочинения
Категория: Теория вероятности | Добавил: Admin (18 Сентября 2012) | Обновлено | Просмотров: 3622 | Рейтинг: 0.0 /0
Перейти на главную страницу

Сообщить об ошибке!

Понравилось? Оставь отзыв

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Sochineniya.info © 2021
Хостинг от uCoz